El producto punto o producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.
Ejemplo
Hallar el producto punto de dos vectores cuyas coordenadas en una base ortonormal son: (1, 1/2, 3) y (4, −4, 1).
(1, 1/2, 3) • (4, −4, 1) = 1 • 4 + (1/2) • (−4) + 3 • 1 = 4 −2 + 3 = 5
Expresión analítica del módulo de un vector
Hallar el valor del módulo de un vector de coordenadas = (−3, 2, 5) en una base ortonormal.
Expresión analítica del ángulo de dos vectores
Determinar el ángulo que forman los vectores = (1, 2, −3) y = (−2, 4, 1).
Vectores ortogonales
Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es 0.
Ejemplo
Calcular los valores x e y para que el vector (x, y, 1) sea ortogonal a los vectores (3, 2, 0) y (2, 1, −1).
Propiedades del producto punto
1 Conmutativa
2 Asociativa
3 Distributiva
4 El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.
Interpretación geométrica del producto punto
El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
OA' es la proyección escalar de sobre el vector .
El vector proyección se calcula multiplicando la proyección escalar por un vector unitario de , de modo que obtenemos otro vector con la misma dirección.
