Derivación de funciones vectoriales
Sean f1, f2 y f3 tres funciones reales de una variable real t. Entonces, para todo número t en el dominio común a f1, f2 y f3, existe un vector R definido por:
Si R(t) = f1 (t)i + f2 (t)j + f3 (t)k, entonces
La función vectorial R es continua en t1 si y solo si:
La derivada de una función vectorial R es una función representada por R', y definida por:
si dicho límite existe.
Si R es una función vectorial definida por
R(t) = f1 (t)i + f2 (t)j + f3 (t)k
y R(t) existe, entonces:
R(t) = f1' (t)i + f2' (t)j + f3' (t)k
La interpretación geométrica para la derivada de R es el vector tangente a la curva C en el punto P.
La figura de la derecha muestra una porción de la curva C, que es la gráfica de R. En la figura OP es la representación de posición de R(t), OQ es la representación de posición de R(t + t) y así PQ es la representación del vector [R(t + t) - R(t)]. Cuando t tiende a cero, el vector [R(t + t) - R(t)]/ t tiene una representación que se aproxima a un segmento rectilíneo dirigido, tangente a la curva C en P.
R'(t) representa la velocidad instantánea v con la que el extremo de R describe la curva en cuestión. De la misma manera, dv/dt = R''(t) es la aceleración instantánea a lo largo de dicha curva.
Fórmulas de derivación
Sean A, B y C funciones vectoriales derivables de un escalar u y una función escalar derivable de u.
Derivadas parciales de un vector
Si A y B son funciones de x, y, z, se tiene:
Integración de funciones vectoriales
Sea R(u) = R1 (u)i + R2 (u)j + R3 (u)k un vector función de una sola variable escalar u, en donde R1 (u), R2 (u), R3 (u), se suponen continuas en un intervalo dado. En estas condiciones:
se llama integral indefinida de R(u).
Si existe un vector S(u) de forma que
se verifica que
en donde C es un vector constante arbitrario independiente de u.
La integral definida entre los límites de u = a y u = b es
