Ecuación del plano
Ecuación vectorial del plano
Para determinar un plano del espacio se necesita conocer un punto P y un par de vectores que formen una base, es decir, que sean linealmente independientes.
Para que el punto P pertenezca al plano π el vector PX tiene que ser coplanario con U y v , es decir, que dependa linealmente de U y v .
Ecuaciones paramétricas del plano
Si operamos en la ecuación vectorial del plano llegamos a la igualdad:
Para que se verifique esta igualdad, se debe cumplir que:
Ecuación general o implícita del plano
Un punto está en el plano π si tiene solución el sistema:
Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas λ y µ• Por tanto el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los términos independientes tiene que ser igual a cero.
Desarrollando el determinante obtenemos:
Damos los valores:
Sustituimos:
Realizamos las operaciones y le damos a D el valor:
Obtenemos la ecuación general de plano
Ecuación canónica o segmentaria del plano
Sean los puntos A(a, 0, 0), B(0, b, 0) y C(0, 0, c), la ecuación canónica viene dada por:
Ejercicios
1.Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por el punto A(1, 1, 1) y tiene como vectores directores a
2.Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos A(−1, 2, 3) y B(3, 1, 4) y contiene al vector
3.Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos A(−1, 1, −1), B(0, 1, 1) y C(4, −3, 2).
4.Sea π el plano de ecuaciones paramétricas:
Se pide comprobar si los puntos A (2, 1, 9/2) y B(0, 9, −1) pertenecen al plano.
5.Hallar la ecuación segmentaria del plano que pasa por los puntos A(1, 1, 0), B(1, 0, 1) y C(0, 1, 1).
Dividiendo por −2 obtenemos la ecuación segmentaria:
6.Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(2, 0, 1) y contiene a la recta de ecuación:
De la ecuación de la recta obtenemos el punto B y el vector U
7.Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(1, −2, 4), B(0, 3, 2) y es paralelo a la recta:
8.Dadas las rectas
