Producto de un vector por un escalar
Si multiplicamos un vector por un numero escalar, este se amplifica en su magnitud, pero su ángulo queda igual. Veamos un ejemplo y su demostración:
Si tenemos el vector
Demostremos que su magnitud total se amplifica.
Calculemos la magnitud del vector amplificado.
Es fácil demostrar que la dirección del vector no cambia, puesto que ambas componentes aumentan la misma fracción.
Principio de Superposición de Velocidades
Establece que cualquier movimiento en un espacio de tres dimensiones, puede ser descompuesto en tres movimientos independientes, uno por cada dimensión, de forma que con la suma de ellos (superposición) se obtiene el movimiento original del objeto.
Cuando uno de los movimientos independientes utilizado en la superposición, se materializa, se supone que el resto de los movimientos independientes se congelan. Aunque en la realidad los tres ocurren simultáneamente, el Principio de Superposición afirma que podemos estudiarlos en forma separada.
El Principio de Superposición, como su nombre lo indica es un Principio, y como tal debe ser aceptado o rechazado de acuerdo a sus resultados. Sabemos que no es válido en la teoría de la Relatividad Especial, pero en la mecánica no relativista ( donde solo participan velocidades mucho menores que la velocidad de la luz), nos permite descomponer movimientos complejos en una suma de movimientos simples.
Ejemplo 1
Una persona lanza una pelota desde una distancia L de una rampa. Calcular la velocidad y la dirección para que la pelota llegue tangente a la rampa en el vértice de ésta. La rampa tiene un ángulo alfa y una altura H en su vértice.
Hagamos un análisis del enunciado del problema para identificar datos y restricciones:
En el enunciado se dan los valores de algunas constantes del problema, las cuales conocemos, es el caso de L y H. No aparece en el texto la existencia de la aceleración de gravedad, pero es obvio y esta descrita en el dibujo. Como son datos, el resultado tiene que ser expresado en función de ellos.
Después de identificar los datos del problema, hay que encontrar el conjunto de restricciones que nos lleven al resultado.Veamos el enunciado con un comentario entre paréntesis del texto rojo.
EJEMPLO 1
"Una persona lanza una pelota a una distancia L de una rampa (Este trozo nos entrega la información de la distancia de la persona con la rampa (Dato)). Calcular la velocidad y la dirección (Nos indica a que tenemos que llegar, una velocidad y un ángulo) para que la pelota llegue tangente (Restricción Número uno) a la rampa en el vértice de esta (Restricción Número dos) la rampa tiene un ángulo alfa y una altura H (Datos) en su vértice".
Ya sabemos a lo que tenemos que llegar. Primero tenemos que identificar las variables: Sea Vx y Vy la velocidad con que salió la pelota. Conociendo estas dos variables, podemos calcular fácilmente el ángulo con que salió.
Veamos la restricción numero uno: "la pelota llegue tangente"
Al hacer el dibujo en una escala mayor, definiendo dos variables nuevas Vx' y Vy' (es la velocidad en su componente horizontal y vertical de la pelota en el vértice de la rampa respectivamente (no son conocidas) y completando algunos ángulos, se puede llegar a una relación trigonométrica.
La restricción numero dos: "a la rampa en el vértice de esta"
Esta nos indica la posición de la pelota en cierto instante, nos damo un sistema de referencia y en él definimos la posición y el tiempo en que esto ocurre como: X', Y', T'.
Y' = H
X' = L
entonces:
Y una ecuación con la velocidad:
Como sabemos que en el eje horizontal la velocidad es constante para todo tiempo, entonces la velocidad en el origen es la misma siempre, en particular el tiempo en que la pelota llega al vértice, entonces: Vx=Vx'
Hagamos un reemplazo en las ecuaciones y presentemos el sistema que hay que resolver para obtener el resultado.
Como Vy' es una variable que nos dimos y no la necesitamos, debemos eliminarla, reemplazando alguna ecuación en la variable. Utilizando la ecuación (1) y reemplazando en la ecuación (4), tenemos:
Lo mismo con T', en la ecuación (3), podemos despejar T' en función de variables conocidas y podemos reemplazar en el resto.
Resolvamos:
Sumemos:
A nosotros solo nos sirve la raíz positiva, pues desde un principio supusimos que el lanzamiento era hacia la derecha.
De la ecuación (4.3)
