Vector tangente unitario
La geometría diferencial constituye el estudio de las curvas y superficies en el espacio. Sea C una curva en el espacio definida por la función R(t), dR/dt es un vector en la dirección de la tangente a C. A dicho vector le llamaremos T(t).
Vector normal unitario
Consideramos la longitud de arco S medida a partir de un punto fijo de C. La variación de T con respecto de S es una medida de la curvatura de C y se obtiene por dT/ds. La dirección de dT/ds en un punto cualquiera de C es la correspondiente a la normal a curva en dicho punto. El vector unitario N en la dirección de la normal se llama normal principal a la curva. Así, dT/ds = k N, siendo k la curvatura de C en el punto dado. El recíproco de la curvatura = 1/k se llama radio de curvatura.
Vector binormal unitario
El vector unitario B definido por el producto vectorial B = T x N, perpendicular al plano formado por T y N se llama binormal a la curva. Los vectores T, N, B, forman un triedro tri-rectángulo a derechas en cualquier punto de C.
Como a medida que varía S el sistema se desplaza, se le conoce con la denominación de triedro móvil.
Fórmulas
Fórmulas de Frenet - Serret
En donde el escalar t se llama torsión. El recíproco de la torsión O = 1/t es el radio de torsión.
El plano osculador a una curva en un punto P es el que contiene a la tangente y a la normal principal en P.
El plano normal es el que pasa por P y es perpendicular al plano tangente.
El plano rectificante es el que pasa por P y es perpendicular a la normal principal.
VECTOR TANGENTE NORMAL Y BINORMAL
Vector tangente unitario y vector normal unitario principal: sea C una curva en el espacio descrita por r (t) = f (t) + g (t) +H (t) k, en donde f g y h tienen segundas derivadas.
Vector tangente unitario
½r´ (t)½T = r’ (t) /
Vector binormal unitario.- Vector unitario definido mediante B = T X N
Los tres vectores unitarios T, N, B forman un conjunto de vectores mutuamente ortogonales de orientación derecha, llamado triedo móvil Radio de curvatura.-El reciproco de la curvatura, p = 1/k se llama radio de curvatura. El radio de curvatura en un punto p de una curva es el radio de una circunferencia que se ajusta a la curva mejo que cualquier otra.
Por ejemplo, un automóvil que recorre una pista curvada. Puede considerarse que se mueve sobre una circunferencia.
Definición del Vector Tangente Unitario:
Sea c : [a , b] → R3 una trayectoria infinitamente diferenciable (es decir, existen derivadas de todos los ordenes). Supongamos que c’(t) ≠ 0 para todo t. El vector
Es tangente a c en el punto c(t) y puesto que │T(t) )│ = 1, T se denomina vector tangente unitario de c
Ejemplo 1.-
Si
… c(t) = (2 cos t , 2 sen t, t)
Encontrar el vector tangente unitario.
Solución:
.. c’(t) = (−2 sen t , 2 cos t, 1)
Por lo tanto, el vector tangente unitario es:
Definición de Vector Normal Principal (unitario):
Sea C una curva suave representada por c en un intervalo abierto I. Si T’(t) ≠ 0, el vector normal principal en t se define como:
Ejemplo 2.-
Hallar el vector Normal principal para la hélice:
… c(t) = (2 cos t, 2 sen t, t)
Solución:
Por el ejemplo1 sabemos que el vector tangente unitario es:
T’(t) viene dada por:
T’(t) = ( −2 cos t, −2 sen t, 0)
Como
│T’(t) │ = =
se sigue que el vector normal principal es:
N(t) = ½ (−2 cos t , −2 sen t, 0) = (-cos t, sen t , 0)
Consideremos un tercer vector:
Definición de vector Binormal:
El vector Binormal es un vector unitario perpendicular a T y a N definido por:
B = T H N
Ejemplo 3.-
Hallar el vector Binormal principal para la hélice:
… c(t) = (2 cos t, 2 sen t, t)39297
Solución:
B = =
Los tres juntos, T, N y B, forman un sistema ortogonal orientado positivamente, que podemos interpretar en movimiento a lo largo de la trayectoria
Vector tangente unitario
La geometría diferencial constituye el estudio de las curvas y superficies en el espacio. Sea C una curva en el espacio definida por la función R(t), dR/dt es un vector en la dirección de la tangente a C. A dicho vector le llamaremos T(t).
Vector normal unitario
Consideramos la longitud de arco S medida a partir de un punto fijo de C. La variación de T con respecto de S es una medida de la curvatura de C y se obtiene por dT/ds. La dirección de dT/ds en un punto cualquiera de C es la correspondiente a la normal a curva en dicho punto. El vector unitario N en la dirección de la normal se llama normal principal a la curva. Así, dT/ds = k N, siendo k la curvatura de C en el punto dado. El recíproco de la curvatura r = 1/k se llama radio de curvatura.
Vector binormal unitario
El vector unitario B definido por el producto vectorial B = T x N, perpendicular al plano formado por T y N se llama binormal a la curva. Los vectores T, N, B, forman un triedro tri-rectángulo a derechas en cualquier punto de C.
